##  [Beweis Durch Widerspruch](/de/node/70537) 

 Definition

Eine Form des indirekten Beweises in der klassischen Logik, die die Wahrheit einer Aussage P dadurch begründet, dass man deren Negation (¬P) annimmt, aus dieser Annahme einen Widerspruch oder eine explizite Falschheit ableitet und daraus folgert, dass ¬P unhaltbar ist und daher P innerhalb des gewählten logischen Rahmens gilt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Wenn die Annahme von ¬P logisch zu einem Widerspruch führt, so ist ¬P mit den Hintergrundannahmen unvereinbar und P anzunehmen (klassische Logik stützt sich dabei gewöhnlich auf das Nicht-Kontradiktionsprinzip und das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Illustratives Szenario — Situation: Es soll gezeigt werden, dass es keine kleinste positive rationale Zahl gibt. Erkennung: Man nimmt das Gegenteil an, nämlich dass r die kleinste positive rationale Zahl sei. Handlung: Man zeigt, dass r/2 eine kleinere positive rationale Zahl ist, was der Minimalannahme widerspricht. Folge: Die Annahme ist unhaltbar; folglich existiert keine solche kleinste rationale Zahl (klassischer indirekter Beweis).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Argumentation, die nur zu einer unwahrscheinlichen Konsequenz führt, als Reductio zu behandeln, obwohl kein formaler Widerspruch vorliegt, oder ein aus einer Reductio abgeleitetes ¬¬P in konstruktiven Kontexten fälschlich als P zu nehmen, obwohl ¬¬P dort nicht P impliziert.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht das indirekte Hervorbringen von Unmöglichkeits- oder Existenzresultaten und vereinfacht oft Beweise, indem schwierige direkte Konstruktionen in das Aufzeigen der Inkonsistenz gegenteiliger Annahmen umgewandelt werden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

In nicht-klassischen Logiken ist die Methode einzuschränken: In der intuitionistischen Logik impliziert ¬¬P nicht notwendigerweise P; in parakonsistenten Logiken führt ein Widerspruch nicht zwangsläufig zur Trivialität, sodass eine Reductio nicht zum Zurückweisen der Annahme zwingt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Klar innerhalb: formale Beweise in der klassischen Mathematik, die aus einer angenommene Negation einen Widerspruch herleiten. Randfall: informelle Argumente, die nur starke Implausibilität, aber keinen formalen Widerspruch zeigen — Anwendung hängt vom Status der Prämissen ab. Klar außerhalb: konstruktive Beweise, die direkt ein Beispiel oder eine Konstruktion für P liefern.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen klassischer und konstruktiver/parakonsistenter Auffassung von Beweis: Vertrauen auf das Ausschlussprinzip versus Forderung nach expliziten Konstruktionen oder Toleranz von Widersprüchen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Reductio ad absurdum nutzt die Undenkbarkeit einer Annahme, um deren Negation in klassischen Systemen zu rechtfertigen; ihre Wirkungsbreite hängt daher von den zugrunde liegenden logischen Prinzipien ab.