Una demostración formal es una secuencia finita y ordenada de fórmulas bien formadas en un lenguaje formal y en un sistema de prueba especificado, tal que cada fórmula es una premisa, un axioma del sistema o se obtiene de fórmulas anteriores mediante una regla de inferencia del sistema, y la fórmula final es la conclusión derivada.

Principio

La derivabilidad en un sistema formal fijado, conforme a sus axiomas y reglas de inferencia, es el criterio que determina si un argumento constituye una demostración formal.

Demostración

Escenario ilustrativo — Situación: En un lenguaje proposicional con axiomas A1 y A2 y Modus Ponens como regla, un demostrador anota (1) A1, (2) A2, (3) A1 → B, (4) B (de 1 y 3 por Modus Ponens). Reconocimiento: Cada paso es axioma o sigue la regla del sistema. Acción: El demostrador registra la secuencia como derivación. Consecuencia: B es un teorema del sistema porque aparece como la fórmula final de una derivación finita válida.

Aplicación incorrecta

Tratar un argumento persuasivo o explicativo en lenguaje natural como una demostración formal sin traducirlo al lenguaje formal especificado y verificar que cada paso sigue las reglas de inferencia; el error es confundir persuasión con derivabilidad sintáctica.

Consecuencia

Si una afirmación tiene una demostración formal en un sistema sano, es derivable sintácticamente y por tanto justificada en ese sistema; no obstante, dicha derivabilidad sólo garantiza lo permitido por los axiomas y reglas elegidos y depende del lenguaje y los axiomas escogidos, no de hechos empíricos externos.

Inversión

Si el sistema de demostración elegido no es 'sound' respecto a una semántica objetivo, o la interpretación prevista de los símbolos difiere de la interpretación formal, entonces una demostración formal puede no preservar la verdad bajo esa interpretación externa; a la inversa, hechos semánticos verdaderos pueden carecer de demostración en un sistema incompleto.

Límite

Claro dentro: una derivación de estilo Hilbert o deducción natural que enumera cada fórmula y justifica cada paso por un axioma o regla. Caso límite: un esquema que indica el patrón inferencial principal sin comprobar cada aplicación de regla. Claro fuera: una explicación informal que usa metáforas o apelaciones a la intuición sin reglas sintácticas explícitas y una derivación fórmula por fórmula.

Tensión semántica

Demostración formal ↔ Explicación matemática informal — la demostración formal prioriza la comprobabilidad mecánica y la corrección sintáctica; la explicación informal prioriza la intuición y la pedagogía; traducir entre ambas puede ser difícil.

Síntesis

Una demostración formal convierte la corrección argumentativa en una secuencia verificable mecánicamente y ligada a un sistema elegido; su utilidad depende de la adecuación de la formalización y de la relación del sistema con la semántica prevista.