Ein formales Resultat, das besagt, dass bei mindestens drei Alternativen keine Sozialwohlfahrtsfunktion, die jedes Profil strenger individueller Präferenzordnungen auf eine vollständige und transitive kollektive Ordnung abbildet, gleichzeitig die Axiome uneingeschränkter Bereich, Pareto‑Prinzip (Einstimmigkeit), Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen und Nicht‑Diktatur erfüllen kann.

Prinzip

Im angegebenen ordinalen, deterministischen Aggregationsrahmen ist die Konjunktion der genannten Axiome inkonsistent: Jede Aggregationsregel, die uneingeschränkten Bereich, Pareto und Unabhängigkeit erfüllt, muss bei drei oder mehr Alternativen diktatorisch sein.

Demonstration

Situation: Drei Wähler geben strenge Präferenzordnungen über drei Optionen an. Erkennung: Man nehme an, eine Aggregationsregel beansprucht Einstimmigkeit, Unabhängigkeit, uneingeschränkten Bereich und Nicht‑Diktatur zu erfüllen. Aktion: Konstruiere Präferenzprofile, die durch Unabhängigkeit und Einstimmigkeit widersprüchliche gesellschaftliche Ordnungen erzwingen oder die Präferenz eines Wählers als entscheidend hervorheben. Konsequenz: Die Konstruktion zeigt, dass keine nicht‑diktatorische Regel alle Axiome erfüllt und etabliert so die Unmöglichkeaitsaussage für ordinale Aggregationen mit drei oder mehr Alternativen.

Fehlanwendung

Den Satz so zu lesen, dass ‚Demokratie unmöglich‘ sei in jeder Hinsicht; oder ihn auf Kontexte mit kardinalen Nutzenmaßen, eingeschränkten Präferenzmengen, randomisierten Regeln oder Verfahren anzuwenden, die unvollständige bzw. intransitive kollektive Urteile erzeugen—Fälle, in denen die Voraussetzungen des Satzes nicht gelten.

Konsequenz

Erzwingt eine explizite Entscheidung, welche Axiome gelockert oder welche alternativen Rahmen eingeführt werden sollen (z. B. Einschränkung des Präferenzbereichs, Zulassung kardinaler Nutzen, probabilistische Wahlverfahren) und beeinflusst so die theoretische und institutionelle Gestaltung von Aggregationsregeln.

Umkehrung

Wird der uneingeschränkte Bereich eingeschränkt (z. B. single‑peaked Präferenzen), fällt die Unabhängigkeit der irrelevanten Alternativen weg, sind interpersonelle Nutzenvergleiche möglich oder sind soziale Präferenzen unvollständig/ probabilistisch, so greift das Unmöglichkeitsergebnis nicht.

Abgrenzung

Gilt für: deterministische Sozialwohlfahrtsfunktionen, die vollständige strenge ordinale Präferenzprofile in ein vollständiges transitives soziales Ranking überführen. Gilt nicht für: Punktesysteme mit kardinaler Information, probabilistische kollektive Wahl, Urteilsaggregation mit nicht‑Ranking‑Ausgaben oder eingeschränkte Präferenzdomänen.

Semantische Spannung

Gerechtigkeitsaxiome (Einstimmigkeit, Unabhängigkeit) ↔ Machbarkeit kohärenter kollektiver Ordnungen, was zeigt, dass die Bindung an bestimmte Fairnesskriterien andere wünschenswerte Eigenschaften wie Nicht‑Diktatur ausschließt.

Synthese

Arrows Satz formt die formalen Zielkonflikte der ordinalen Aggregation: Er verbietet nicht kollektive Entscheidungen, zwingt aber zur Klarlegung, welche Axiome aufgegeben oder welche alternativen Repräsentationen gewählt werden.