Un résultat formel affirmant que, pour au moins trois alternatives, aucune fonction de bien‑être social qui associe à chaque profil d'ordres stricts de préférence individuels un ordre collectif complet et transitif ne peut satisfaire simultanément les axiomes de domaine non restreint, Pareto (unanimité), indépendance des alternatives non pertinentes et non‑dictature.

Principe

Dans le cadre ordinal et déterministe d'agrégation spécifié, la conjonction des axiomes énoncés est inconsistent : toute règle d'agrégation satisfaisant domaine non restreint, Pareto et indépendance doit être dictatorial pour trois alternatives ou plus.

Démonstration

Situation : Trois électeurs fournissent des classements stricts de trois options. Reconnaissance : on suppose une règle d'agrégation prétendant satisfaire unanimité, indépendance, domaine non restreint et non‑dictature. Action : construire des profils de préférence qui, par indépendance et unanimité, imposent des ordres sociaux contradictoires ou font d'un électeur le déciseur. Conséquence : la construction montre qu'aucune règle non dictatorial ne satisfait tous les axiomes, établissant l'impossibilité pour des agrégations ordinales à trois alternatives ou plus.

Mauvaise application

Interpréter le théorème comme une assertion selon laquelle « la démocratie est impossible » en tous sens ; ou l'appliquer à des contextes avec utilités cardinales, domaines de préférence restreints, règles randomisées, ou procédures produisant des préférences collectives incomplètes ou intransitives, où les hypothèses du théorème ne s'appliquent pas.

Conséquence

Contraint à choisir explicitement quels axiomes relâcher ou quel cadre alternatif adopter (par ex. restreindre le domaine de préférences, autoriser les utilités cardinales, permettre le choix social randomisé), orientant ainsi la conception théorique et institutionnelle des règles d'agrégation.

Inversion

Si l'on relâche le domaine non restreint (par ex. préférences unimodales), abandonne l'indépendance des alternatives non pertinentes, permet les comparaisons interpersonnelles d'utilité ou les utilités cardinales, ou accepte des préférences sociales incomplètes ou probabilistes, la conclusion d'impossibilité ne tient plus.

Limite

S'applique à : fonctions de bien‑être social déterministes mappant des profils de préférences ordinales strictes complètes sur un ordre social complet et transitif. Ne s'applique pas à : règles de notation utilisant de l'information cardinale, choix social probabiliste, agrégation de jugements produisant d'autres sorties que des classements, ou domaines de préférence restreints.

Tension sémantique

Axiomes d'équité (unanimité, indépendance) ↔ faisabilité d'ordres collectifs cohérents, révélant que l'engagement envers certains critères d'équité exclut d'autres desiderata comme la non‑dictature.

Synthèse

Le théorème d'Arrow formalise les compromis inhérents à l'agrégation ordinale : il ne proscrit pas la décision collective mais oblige à spécifier quels axiomes abandonner ou quelle représentation alternative adopter.