Un resultado formal que afirma que, con al menos tres alternativas, ninguna función de bienestar social que asigne a cada perfil de ordenamientos estrictos de preferencia individuales una ordenación colectiva completa y transitiva puede satisfacer simultáneamente los axiomas de dominio irrestricto, Pareto (unanimidad), independencia de alternativas irrelevantes y no‑dictadura.

Principio

En el marco ordinal y determinista especificado, la conjunción de los axiomas listados es inconsistente: cualquier regla de agregación que cumpla dominio irrestricto, Pareto e independencia deberá ser dictatorial para tres o más alternativas.

Demostración

Situación: Tres votantes proporcionan rankings estrictos sobre tres opciones. Reconocimiento: Se asume una regla de agregación que pretende satisfacer unanimidad, independencia, dominio irrestricto y no‑dictadura. Acción: Construir perfiles de preferencia que, por independencia y unanimidad, obliguen a ordenaciones sociales contradictorias o hagan decisiva la preferencia de un votante. Consecuencia: La construcción muestra que ninguna regla no dictatorial puede satisfacer todos los axiomas, estableciendo la afirmación de imposibilidad para agregaciones ordinales de tres o más alternativas.

Aplicación incorrecta

Interpretar el teorema como que «la democracia es imposible» en todos los sentidos; o aplicarlo a contextos con utilidades cardinales, dominios de preferencia restringidos, reglas aleatorizadas o procedimientos que producen juicios sociales incompletos o intransitivos, donde no se cumplen las hipótesis del teorema.

Consecuencia

Obliga a elegir explícitamente qué axiomas relajar o qué marcos alternativos adoptar (p. ej., restringir el dominio de preferencias, permitir utilidades cardinales, usar elección social probabilística), modelando así el diseño teórico e institucional de las reglas de agregación.

Inversión

Si se relaja el dominio irrestricto (p. ej. preferencias unimodales), se abandona la independencia de alternativas irrelevantes, se permiten comparaciones interpersonales de utilidad o utilidades cardinales, o se admiten preferencias sociales incompletas o probabilísticas, la conclusión de imposibilidad deja de aplicarse.

Límite

Se aplica a: funciones de bienestar social deterministas que mapean perfiles completos de preferencias ordinales estrictas a un ranking social completo y transitivo. No se aplica a: reglas de puntuación con información cardinal, elección social probabilística, agregación de juicios con salidas distintas de ranking, o dominios de preferencia restringidos.

Tensión semántica

Axiomas de equidad (unanimidad, independencia) ↔ factibilidad de ordenaciones colectivas coherentes, mostrando que comprometerse con ciertos criterios de equidad impide otras desideratas como la no‑dictadura.

Síntesis

El teorema de Arrow formaliza las compensaciones en la agregación ordinal: no prohíbe la decisión colectiva, pero obliga a especificar qué axiomas abandonar o qué representación alternativa adoptar.