Die Zuordnung semantischer Werte, Elemente einer Domäne und struktureller Relationen zu den Symbolen einer formalen Sprache oder eines Modells, die Wahrheitsbedingungen oder Erfüllbarkeitsrelationen gegenüber einer spezifizierten Struktur festlegt und damit das formale System mit einer Ziel‑Domäne oder Klasse von Strukturen verbindet.

Prinzip

Eine modelltheoretische Interpretation bestimmt die Wahrheit oder Erfüllung formaler Aussagen durch Festlegung einer Struktur (Domäne und Interpretationsfunktion), an der Formeln bewertet werden; unterschiedliche Interpretationen liefern unterschiedliche semantische Konsequenzen, obwohl die Syntax unverändert bleibt.

Demonstration

Situation: Eine Logikerin hat eine formale Sprache für Graphen und will prüfen, ob eine Formel, die ‚Existenz eines Pfads‘ ausdrückt, für ein soziales Netzwerk gilt. Erkennung: Sie legt eine Interpretation fest, die Prädikatsymbole Knoten und Adjazenzrelationen Kanten in einem konkreten Datensatz zuordnet. Handlung: Sie wertet die Formel in dieser Struktur aus, um zu bestimmen, ob das Netzwerk sie erfüllt. Konsequenz: Das Ergebnis ist ein semantisches Urteil über diese Interpretation und kein universeller Sachverhalt über alle möglichen sozialen Netzwerke.

Fehlanwendung

Das Modell mit dem realen System, das es repräsentiert, zu verwechseln oder anzunehmen, es gebe eine einzig intendierte Interpretation; solche Reifikation oder unberechtigte Einzigartigkeit behandelt semantische Übereinstimmung als Identität oder empirischen Beweis statt als eine von vielen möglichen Abbildungen.

Konsequenz

Explizite modelltheoretische Interpretation macht formales Schließen auf empirische oder konzeptuelle Zielbereiche anwendbar und macht die Unterbestimmtheit sichtbar, wenn mehrere Strukturen dieselben formalen Sätze erfüllen.

Umkehrung

In Kontexten mit intendierter Semantik (z. B. ein festes Standardmodell in einer Spezifikation) kann die Interpretation eindeutig festgelegt sein; in nichtklassischen Logiken oder alternativen Semantiken können sich die Erfüllbarkeitsrelation und Wahrheitsbedingungen selbst ändern.

Abgrenzung

Eindeutig innerhalb: Erstordnungs- oder Modalsemantiken, in denen Struktur und Interpretationsfunktion explizit gegeben sind. Randfall: informelle oder metaphorische ‚Modelle‘ in der Darstellung, die keine präzisen Erfüllbarkeitsbedingungen besitzen. Eindeutig außerhalb: rhetorische Verwendungen von ‚Modell‘, die kein Mapping von Symbolen auf Domänenelemente liefern.

Semantische Spannung

Formale Präzision (explizite Abbildungen und Wahrheitsbedingungen) ↔ Empirische Adäquanz (Anpassung der Interpretation an unordentliche reale Daten): formale Semantik verlangt Genauigkeit, die empirische Interpretation approximieren muss.

Synthese

Die modelltheoretische Interpretation trennt syntaktische Ableitungen von semantischen Zusagen: um formale Ergebnisse auf eine Domäne anzuwenden, muss die Interpretation explizit gemacht und die repräsentierten Strukturen bewertet werden.